Муодилаҳоро ҳал кунед:

\[A_x^2 \cdot C_x^{x-1} = 48.\]

Ҳал.

\(A_n^m = \frac{n!}{(n - m)!}\), ки дар ин ҷо \(m \leq n\)

\(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), ки дар ин ҷо \(m \leq n; \quad C_n^0 = 1\)

\(A_x^2 = \frac{x!}{(x - 2)!} = \frac{x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)!}{(x - 2)!} = x(x-1)\)

\(C_x^{x-1} = \frac{x!}{(x-(x-1))! (x-1)!} = \frac{x \cdot (x-1)!}{(x-x+1)! (x-1)!} = \frac{x}{1!} = x\)

Аз ин баробариҳо мебарояд, ки \(x \geq 2\) ва \(x \geq x-1\).

\(A_x^2 = x(x-1)\)

\(C_x^{x-1} = x\)

\(A_x^2 \cdot C_x^{x-1} = 48 \Rightarrow x(x-1) \cdot x = 48.\)

\(x \cdot x \cdot (x-1) = 48\)

\(x \cdot x \cdot (x-1) = 4 \cdot 4 \cdot 3\)

\(x \cdot x \cdot (x-1) = 4 \cdot 4 \cdot (4-1)\)

Аз ин ҷо x = 4.

Азбаски 4 > 2 ва 4 > 4 - 1, пас x = 4 - ҳалли дуруст аст.

Ҷавоб: x = 4.